题目

直角三角形ABC,AB=7^0.5,AC=2,BC=3^0.5,三角形内找点P,使 PA+PB+PC最小?

提问时间：2021-04-18

答案

令AB的中点为D,以AC为边长向△ABC外作正△ACE,连BE交CD于P.P就是所要作的点.
证明如下：
在PE上取一点F,使CP＝CF.
∵△ABC是等腰直角三角形,且∠ACB＝90°,∴AC＝BC,又AC＝CE,∴BC＝CE,
∴∠CBE＝∠CEP.
∵∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝90°＋60°＝150°,∠CBE＝（180°－∠BCE）/2＝15°,
∵AD＝BD,AC＝BC,∴∠BCP＝∠ACB/2＝45°.
∴∠CPF＝∠BCP＋∠CBE＝45°＋15°＝60°.而CE＝CP,∴△CPF是正三角形,
∴PC＝PF＝FC,∠CFP＝60°.
由∠CAE＝60°,∠CPF＝60°,∴∠CAE＝∠CPF,∴A、E、C、P共圆,
∴∠APF＝∠ACE＝60°,∠CEF＝∠CAP.
由∠CPF＝60°,∠APF＝60°,得：∠APC＝120°.显然,∠EFC＝180°－∠CFP＝120°.
∴∠EFC＝∠APC,结合作出的EC＝AC,证得的∠CEF＝∠CAP,得：△ECF≌△ACP,
∴EF＝PA.
由EF＝PA,PF＝PC,得：PA＋PB＋PC＝EF＋PF＋PB＝BE.
显然,当P为另一点时,PF＋PB＞BF,即PA＋PB＋PC＞BF＋EF＝BE.
∴点P为BE与CD的交点时,PA＋PB＋PC最小.
此时,过E作EG⊥BC交BC的延长线于G,再过E作EH⊥AC交AC于H.
容易证出：EGCH是矩形,∴EG＝HC,EH＝GC.
而明显有：HC＝AC/2＝1/2,即：EG＝1/2.
还容易算出：EH＝（√3/2）AC＝√3/2,即：GC＝√3/2.
∴BE＝√（EG^2＋BG^2）＝√［（1/2）^2＋（GC＋BC）^2］＝√［1/4＋（√3/2＋1）^2］
＝√（1/4＋3/4＋√3＋1）＝√（2＋√3）＝√［（3＋2√3＋1）/2］＝√［（√3＋1）^2/2］
＝（√3＋1）√（1/2）＝（√6＋√2）/2.
即：PA＋PB＋PC的最小值为（√6＋√2）/2.