题目
已知m∈R,设函数f(x)=x3-3(m+1)x2+12mx+1.
(Ⅰ) 若f(x)在(0,3)上无极值点,求m的值;
(Ⅱ) 若存在x0∈(0,3),使得f(x0)是f(x)在[0,3]上的最值,求m的取值范围.
(Ⅰ) 若f(x)在(0,3)上无极值点,求m的值;
(Ⅱ) 若存在x0∈(0,3),使得f(x0)是f(x)在[0,3]上的最值,求m的取值范围.
提问时间:2021-04-18
答案
(Ⅰ) 由题意知
f′(x)=3x2-6(m+1)x+12m=3(x-2)(x-2m).
由于f(x)在[0,3]上无极值点,故2m=2,所以m=1.
(Ⅱ) 由于f′(x)=3(x-2)(x-2m),故
(i) 当2m≤0或2m≥3,即m≤0或m≥
时,
取x0=2即满足题意.
此时m≤0或m≥
.
(ii) 当0<2m<2,即0<m<1时,列表如下:
故f(2)≤f(0)或 f(2m)≥f(3),
即-4+12m+1≤1或-4m3+12m2+1≥9m+1,
从而3m≤1或-m(2m-3)2≥0,
所以m≤
或m≤0或m=
.
此时0<m≤
.
(iii) 当2<2m<3,即1<m<
时,列表如下:
故f(2m)≤f(0)或 f(2)≥f(3),
即-4m3+12m2+1≤1或-4+12m+1≥9m+1,
从而-4m2 (m-3)≤0 或 3m≥4,
所以m=0或m≥3或 m≥
.
此时
≤m<
.
综上所述,实数m的取值范围是
m≤
或m≥
.
f′(x)=3x2-6(m+1)x+12m=3(x-2)(x-2m).
由于f(x)在[0,3]上无极值点,故2m=2,所以m=1.
(Ⅱ) 由于f′(x)=3(x-2)(x-2m),故
(i) 当2m≤0或2m≥3,即m≤0或m≥
3 |
2 |
取x0=2即满足题意.
此时m≤0或m≥
3 |
2 |
(ii) 当0<2m<2,即0<m<1时,列表如下:
x | 0 | (0,2m) | 2m | (2m,2) | 2 | (2,3) | 3 |
f′(x) | + | 0 | - | 0 | + | ||
f(x) | 1 | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 | 9m+1 |
即-4+12m+1≤1或-4m3+12m2+1≥9m+1,
从而3m≤1或-m(2m-3)2≥0,
所以m≤
1 |
3 |
3 |
2 |
此时0<m≤
1 |
3 |
(iii) 当2<2m<3,即1<m<
3 |
2 |
x | 0 | (0,2) | 2 | (2,2m) | 2m | (2m,3) | 3 |
f′(x) | + | 0 | - | 0 | + | ||
f(x) | 1 | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 | 9m+1 |
即-4m3+12m2+1≤1或-4+12m+1≥9m+1,
从而-4m2 (m-3)≤0 或 3m≥4,
所以m=0或m≥3或 m≥
4 |
3 |
此时
4 |
3 |
3 |
2 |
综上所述,实数m的取值范围是
m≤
1 |
3 |
4 |
3 |
(Ⅰ)求函数的导数,根据函数极值和导数之间的关系即可求出m的值;
(Ⅱ)求函数的导数,根据函数在[0,3]上的最值,建立条件关系即可求出m的取值范围.
(Ⅱ)求函数的导数,根据函数在[0,3]上的最值,建立条件关系即可求出m的取值范围.
利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的极值.
本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等性质等基础知识,同时考查分类讨论等综合解题能力.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
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