题目

若a．b．c是不全相等的正数，求证：lg

a+b

2

+lg

b+c

2

+lg

a+c

2

＞lg a+lg b+lg c．

提问时间：2021-04-15

答案

证明：∵a，b，c∈R⁺，
∴

a+b

2

≥

ab

＞0，

b+c

2

≥

bc

＞0，

a+c

2

≥

ac

＞0…（4分）
又上述三个等式中等号不能同时成立
∴

a+b

2

•

b+c

2

•

a+c

2

＞abc成立．…（6分）
lg（

a+b

2

•

b+c

2

•

a+c

2

）＞lgabc
∴lg

a+b

2

+lg

b+c

2

+lg

a+c

2

＞lg a+lg b+lg c．…（12分）

先根据基本不等式可得

a+b

2

≥

ab

＞0，

b+c

2

≥

bc

＞0，

a+c

2

≥

ac

＞0，然后根据不等式的性质可得

a+b

2

•

b+c

2

•

a+c

2

＞abc成立，两边同取常用对数，即可证得结论．

本题考点：对数函数图象与性质的综合应用．

考点点评：本题主要考查了对数函数性质的综合应用，以及基本不等式的应用，同时考查了转化的数学思想，属于中档题．