题目
如图,已知△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,D是AB上一动点,DE∥BC,交AC于E,将四边形BDEC沿DE向上翻折,得四边形B′DEC′,B′C′与AB、AC分别交于点M、N.
(1)证明:△ADE∽△ABC;
(2)设AD为x,梯形MDEN的面积为y,试求y与x的函数关系式.当x为何值时y有最大值?
(1)证明:△ADE∽△ABC;
(2)设AD为x,梯形MDEN的面积为y,试求y与x的函数关系式.当x为何值时y有最大值?
提问时间:2021-04-15
答案
(1)证明:∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.
∴△ADE∽△ABC. (2分)
(2)∵S△ABC=24,△ADE∽△ABC,相似比为
,
∴
=(
)2,所以S△ADE=
x2. (4分)
∵∠1=∠2,∠1=∠B'MD,∠2=∠B',
∴∠B'=∠B'MD
∴B'D=MD.
又B'D=BD,∴MD=BD.
∴AM=AB-MB=6-2(6-x)=2x-6. (6分)
同理,△AMN∽△ABC,S△AMN=
(x−3)2
∴y=S△ADE−S△AMN=
x2−
(x−3)2=−2x2+16x−24. (8分)
配方得y=-2(x-4)2+8
∴当x=4时,y有最大值. (10分)
∴△ADE∽△ABC. (2分)
(2)∵S△ABC=24,△ADE∽△ABC,相似比为
x |
6 |
∴
S△ADE |
S△ABC |
x |
6 |
2 |
3 |
∵∠1=∠2,∠1=∠B'MD,∠2=∠B',
∴∠B'=∠B'MD
∴B'D=MD.
又B'D=BD,∴MD=BD.
∴AM=AB-MB=6-2(6-x)=2x-6. (6分)
同理,△AMN∽△ABC,S△AMN=
8 |
3 |
∴y=S△ADE−S△AMN=
2 |
3 |
8 |
3 |
配方得y=-2(x-4)2+8
∴当x=4时,y有最大值. (10分)
(1)根据DE∥BC得△ADE∽△ABC;
(2)S梯形MDEN=S△ADE-S△AMN.根据△ADE∽△ABC,△AMN∽△ABC分别用含x的代数式表示S△ADE,S△AMN得y与x的函数关系式,应用函数性质求解.
(2)S梯形MDEN=S△ADE-S△AMN.根据△ADE∽△ABC,△AMN∽△ABC分别用含x的代数式表示S△ADE,S△AMN得y与x的函数关系式,应用函数性质求解.
二次函数的最值;平行线分线段成比例;相似三角形的判定与性质.
此题为二次函数与相似三角形的综合题,有一定难度.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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