题目

如图11,抛物线与x轴交于A,B两点,直线y=kx-1与抛物线交于A,C两点,其中A（-1,0）,B（3,0）,点C的纵坐
1.求k值
2.求抛物线的解析式
3.抛物线上是否存在点P,使得△ACP是以AC为底边的等腰三角形?如果存在,写出所有满足条件的点P的坐标；如果不存在,请说明理由.

提问时间：2021-04-15

答案

【本题不完整,缺少点C的纵坐标,在此假设C的纵坐标为 -5吧!】
解:1.直线y=kx-1过点A(-1,0),则:
0=-k-1, k=-1.
2.k=-1,则直线y=kx-1即y=-x-1.点C在这条直线上,则:-5=-x-1,x=4.
即点C的坐标为(4,-5).
设过A(-1,0),B(3,0)的抛物线解析式为:y=a(x+1)(x-3),图象过点C(4,-5),则:
-5=a(4+1)*(4-3),a=-1.
故抛物线解析式为:y=-1(x+1)(x-3)= -x²+2x+3.
3.作CH垂直X轴于H,则OH=4,CH=5=AH,得:∠HAC=∠HCA=45°.
过点H作AC的垂线,垂足为M,交抛物线于P1和P2两点(P1在P2的右侧).
则直线HM垂直平分AC,此时点M为(3/2,-5/2).
由H和M的坐标可求得直线HM为:y=x-4.
把y=x-4与y=-x²+2x+3联立方程组得:x=1/2+√29/2,y=-7/2+√29/2或x=1/2-√29/2,y=-7/2-√29/2.
即P的坐标为(1/2+√29/2,-7/2+√29/2)或(1/2-√29/2,-7/2-√29/2).