题目

已知函数f（x）=xⁿ⁺¹（n∈N^*）的图象与直线x=1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为x_n，则log₂₀₁₃x₁+log₂₀₁₃x₂+…+log₂₀₁₃x₂₀₁₂的值为（　　）
A. 1-log₂₀₁₃2012
B. -1
C. -log₂₀₁₃2012
D. 1

提问时间：2021-04-13

答案

∵函数f（x）=xⁿ⁺¹（n∈N^*）的图象与直线x=1交于点P，
∴P（1，1），
∵y=xⁿ⁺¹，∴y′=（n+1）xⁿ，当x=1时，y′=n+1，即切线的斜率为：n+1，
故y=xⁿ⁺¹在（1，1）处的切线方程为y-1=（n+1）（x-1），
令y=0可得x=

n

n+1

，
即该切线与x轴的交点的横坐标为x_n=

n

n+1

，
所以log₂₀₁₃x₁+log₂₀₁₃x₂+…+log₂₀₁₃x₂₀₁₂
=log₂₀₁₃

1

2

×

2

3

×

3

4

×…×

2012

2013

=log2013

1

2013

=-1，
故选B．