题目

如图，等腰梯形ABCD内接于半圆O，且AB=1，BC=2，则OA=______．

提问时间：2021-04-12

答案

作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，连结BD，如图，
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AE=DF，EF=BC=2，
∵AB为直径，
∴∠ABD=90°，
∴∠ABE+∠DBE=90°，
而∠ADB+∠DBE=90°，
∴∠ABE=∠ADB，
∴Rt△ABE∽Rt△ADB，
∴AB：AD=AE：AB，即1：（2AE+2）=AE：1，解得AE=

3 −1

2

，
∴AD=2AE+2=

3

-1+2=

3

+1，
∴OA=

3 +1

2

．
故答案为

3 +1

2

．

作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，连结BD，根据等腰梯形的性质得AE=DF，EF=BC=2，再根据圆周角定理的推论得到∠ABD=90°，然后证明Rt△ABE∽Rt△ADB，
再利用相似比可计算出AE，于是可得到AD的长，则易得OA的长．

本题考点：垂径定理；勾股定理；等腰梯形的性质．

考点点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰梯形的性质、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．