题目

设f(x)为R→R函数,且对任意实数,有f(x^2+x)+2f(x^2-3x+2)=9x^2-15,则f（50）=?

提问时间：2021-04-10

答案

f(x^2+x)+2f(x^2-3x+2)=9x^2-15 …… 式1
为了配凑：令
x^2+x=y^2-3y+2
y^2+y=x^2-3x+2
上式加下式化简得：x+y=-3y-3x+4,则x+y=1
令y=1-x,则x=1-y,代入得：
f((1-y)(2-y))+2f((-y)(-1-y))=9(1-y)^2-15
f(y^2-3y+2)+2f(y^2+y)=9y^2-18y-6 …… 式2
令 y=x,则式2变为
f(x^2-3x+2)+2f(x^2+x)=9x^2-18x-6 …… 式3
2*式3 - 式1 得
3f(x^2+x)=18x^2-36x-12-9x^2+15
化简即：f(x^2+x)=3x^2-12x+1 …… 式4
令 y=x^2+x,则
f(y)=3x^2+3x-3x-12x+1=3y-15x+1
==== 说明：进行到这一步,配凑告一段落.但配得不工整,猜想,出题的本意应以结果简洁为主,因此不排除本题有点小差错,稍稍修改一下原题（f(x^2+x)+2f(x^2-3x+2)=9x^2-15x）.====
f(x^2+x)+2f(x^2-3x+2)=9x^2-15x …… 式1
为了配凑：令
x^2+x=y^2-3y+2
y^2+y=x^2-3x+2
上式加下式化简得：x+y=-3y-3x+4,则x+y=1
令y=1-x,则x=1-y,代入得：
f((1-y)(2-y))+2f((-y)(-1-y))=9(1-y)^2-15(1-y)
f(y^2-3y+2)+2f(y^2+y)=9y^2-3y-6 …… 式2
令 y=x,则式2变为
f(x^2-3x+2)+2f(x^2+x)=9x^2-3x-6 …… 式3
2*式3 - 式1 得
3f(x^2+x)=18x^2-6x-12-9x^2+15x
化简即：f(x^2+x)=3x^2+3x-4 …… 式4
令 y=x^2+x,则
f(y)=3y-4
因此 f(50)=3*50-4=146