题目

一到道复杂的数学题
已知函数f(x)=asinx*cosx-根号3*a*cos平方x+[根号3]a/2+b (a>0)
(1)写出函数的单调递减区间
(2)设x属于[0,π/2],f(x)的最小值是 -2 ,最大值是 根号3 ,求实数a,b的值
请注意那个函数f(x)的后面 [根号3]a/2 这里是一个分数,分子是 根号3乘以a 分母是2 后面的 +b 并不是做分母,而是在后面的,独立的

提问时间：2021-04-10

答案

(1)f(x)=asinxcosx-(√3)acos²x+[(√3)a/2]+b
=asin2x/2-(√3)acos2x/2+b
=asin(2x-π/6)+b,a>0
当π/2+2kπ≤2x-π/6≤3π/2+2kπ即π/3+kπ≤x≤5π/6+kπ,k∈Z时单调递减
当-π/2+2kπ≤2x-π/6≤π/2+2kπ即-π/6+kπ≤x≤π/3+kπ,k∈Z时单调递减
(2)当k=0时,f(x)的单调递减区间为[π/3,5π/6],递增区间为[-π/6,π/3]
所以f(x)在[0,π/3]递增,[π/3,π/2]递减
即当x=π/3,f(x)最大,有f(π/3)=a+b=√3
因f(0)=b-0.5a,f(π/2)=0.5a+b
因为a>0
所以当x=0时,f(x)最小,有b-0.5a=-2
解方程组,得a=(4+2√3)/3,b=(√3-4)/3