题目

已知数列{an}中,a1=1,an=4a(n-1)+3^n ,求通项an
已知数列{an}中,a1=1,an=4a(n-1)+3^n -1,（1）求证数列{an+n+1}是等比数列；（2）求通项an
an、4a(n-1)中n、(n-1)为下标

提问时间：2021-04-09

答案

( * 表示乘号,4^（n-1） 表示4的n-1次方)
(1)
an=4a(n-1)+3*n -1
所以 an+n+1 = 4a(n-1)+3*n -1+n+1
= 4a（n-1）+4*n
=4 [ a(n-1) + (n-1) +1 ]
记bn = an+n+1
则上式表明 bn = 4*b(n-1)
亦即数列{an+n+1}是等比数列.
（2）
由上面知道：bn = 4*b(n-1),另外b1 = a1 + 1 +1 = 3
所以bn = an+n+1 = 3 * 4^(n-1)
an = 3 * 4^(n-1) - n - 1