题目

已知函数f（x）=kx³-3（k+1）x²-k²+1（k＞0），若f（x）的单调减区间为（0，4），求k的值．

提问时间：2021-04-09

答案

f'（x）=3kx²-6（k+1）x=0（k＞0），
解得：x=0或

2k+2

k

而

2k+2

k

＞2
令f'（x）=3kx²-6（k+1）x＜0，解得x∈（0，

2k+2

k

）
∴f（x）的单调减区间为（0，

2k+2

k

）
根据题意可知（0，4）=（0，

2k+2

k

），
即

2k+2

k

=4，解得k=1
所以k的值为1．

先求导函数f'（x），令f'（x）＜0，求出函数f（x）的单调减区间，而f（x）的单调减区间为（0，4），它们是同一区间，建立等式关系，即可求出k的值．

本题考点：利用导数研究函数的单调性；不等式的证明．

考点点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，同时考查了分析与解决问题的综合能力，属于基础题．