题目

（代数拓扑）关于切向量丛的
3维球面(R^4中的球)上的切向量丛homemorphism to 3维球面*R^3,这个结论和四元数有什么关系?难道毛球定理可以说明三元数不存在吗?

提问时间：2021-04-09

答案

S³对应四元数体H中的单位四元数,在乘法和取逆下封闭,
因此四元数乘法给出S³上的一个群结构.
又可验证该群结构与S³的微分结构是相容的,故S³是一个Lie群.
Lie群的切丛总是平凡的,因为一点处的线性无关的切向量可以左平移得到点点线性无关的向量场.
所以四元数的存在导致S³的切丛平凡.
但是反过来的推理不能简单进行,因为不清楚S²与假定存在的"三元数"会有怎样的联系.
不过由S²的切丛非平凡说明S²没有Lie群结构是没问题的.
注:其实S³作为Lie群同构于SU(2).