题目

以长为10cm的线段AB为直径作圆,则该圆的内接矩形面积的最大值?（用导数解决）

提问时间：2021-04-09

答案

设矩形的长、宽分别为x、y,
由于圆内接矩形的对角线长等于圆的直径长,
则约束条件为
x²+y²=10²=100,0＜x、y＜10
整理成
y=√(100-x²)
目标函数为
S=xy
=x√(100-x²)
函数S对x求导得
S'=√(100-x²)-x²/√(100-x²)
=(100-2x²)/√(100-x²)
令S'=0,则得唯一解
x=√50
（因为0＜x＜10,故负值舍去）
可知x=√50是S的极大值点,也是最大值点,
此时y=x=√50
故内接矩形的最大面积为
S(max)=xy=50.
注：从此题可以得出结论,圆内接矩形中面积最大的是正方形.