题目

已知f（x）=x³+ax²-（2a+3）x+a²（a∈R）．
（1）若曲线y=f（x）在x=-1处的切线与直线2x-y-1=0平行，求a的值；
（2）当a=-2时，求f（x）的单调区间．

提问时间：2021-04-09

答案

（1）由题意得f'（x）=3x²+2ax-（2a+3），因为y=f（x）在x=-1处的切线与直线2x-y-1=0平行，
∴f'（-1）=2
∴f'（-1）=3-2a-（2a+3）=2，∴a=-

1

2

．
（2）∵a=-2，∴f（x）=x³-2x²+x+4
∴f'（x）=3x²-4x+1，令f'（x）＞0，得x＞1 或 x＜

1

3

．
令f'（x）＜0，得

1

3

＜x＜1．
∴f（x）单调递增区间为(-∞，

1

3

)，（1，+∞），f（x）单调递减区间为(

1

3

，  1)．

（1）先求导数，由条件知f'（-1）=2，然后求解．
（2）求函数的导数，利用导数不等式求函数的单调区间．

本题考点：A:利用导数研究函数的单调性 B:利用导数研究曲线上某点切线方程

考点点评：本题的考点是导数的几何意义以及利用导数求函数的单调区间．