题目
数论题,求解.
设f(x)为一多项式,a,b,c,d为整数.已知f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=7, 求证：不存在整数e使得f(e)=14..
设f(x)为一多项式,a,b,c,d为整数.已知f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=7, 求证：不存在整数e使得f(e)=14..
提问时间：2021-04-09
答案
题中,a,b,c,d应该是不同的整数.
f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=7
==》存在一多项式g(x), 使得 f(x)=g(x)(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+7
反证：
如果存在 f(e)=14, 则： g(e)(e-a)(e-b)(e-c)(e-d)+7=14
g(e)(e-a)(e-b)(e-c)(e-d)=7
左边的5个因子都是整数,且 (e-a),(e-b),(e-c),(e-d) 都各不相同. 这显然不可能,因为其中最多只可能有一个 因子 是7 （或-7）,剩下只有 1, -1 两个不同因子,不可能有四个不同因子.矛盾!
所以结论成立.
f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=7
==》存在一多项式g(x), 使得 f(x)=g(x)(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+7
反证：
如果存在 f(e)=14, 则： g(e)(e-a)(e-b)(e-c)(e-d)+7=14
g(e)(e-a)(e-b)(e-c)(e-d)=7
左边的5个因子都是整数,且 (e-a),(e-b),(e-c),(e-d) 都各不相同. 这显然不可能,因为其中最多只可能有一个 因子 是7 （或-7）,剩下只有 1, -1 两个不同因子,不可能有四个不同因子.矛盾!
所以结论成立.
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
最新试题
热门考点