题目

关于抛物线的简单疑问
已知抛物线C：x-y2(平方）-2y=0上存在关于直线l：y=x+m对称的相异两点,求m的取值范围.m

提问时间：2021-04-08

答案

假设抛物线C：x-y^2-2y=0上的关于直线l：y=x+m对称的相异两点为A（x1,y1）和B（x2,y2）
则x1-y1^2-2y1=0 x2-y2^2-2y2=0
且AB中点在直线l上 (y1+y2)/2=(x1+x2)/2+m
且AB垂直于直线l：y=x+m,则(y2-y1)/(x2-x1)=-1
所以y2-y1=x1-x2
由（x1-y1^2-2y1）-（ x2-y2^2-2y2）=0可得(x1-x2)=(y1-y2)(y1+y2+2)
所以y1+y2+2=-1
所以y1+y2=-3
所以x1+x2=-3-2m
又因为由（x1-y1^2-2y1）+（ x2-y2^2-2y2）=0可得
(x1+x2)=y1^2+y2^2+2(y1+y2)=y1^2+y2^2-6
所以-3-2m+6=y1^2+y2^2=（2y1^2+2y2^2）/2>（y1^2+y2^2+2y1y2）/2=2*[(y1+y2)/2]^2=9/2
不取等号的原因是A和B是相异两点.
所以m