题目
求函数y=(2sinθ-1)/(1+cosθ)的值域,
最好用数形结合法
最好用数形结合法
提问时间:2021-04-08
答案
这道题用数形结合并不觉得有多好,用万能代换更简单.
先用万能代换解,稍后再用数形结合的方法解(因为需要画图,不是那么方便)
如果不对θ加以限制,那么,可设θ∈[0, 2π),
设t=tan (θ/2),则t∈R,
sinθ=2t/(1+t^2),cosθ=(1-t^2)/(1+t^2),
于是y=[4t/(1+t^2)-1]/[1+(1-t^2)/(1+t^2)]
=[4t-(1+t^2)]/[(1-t^2)+(1+t^2)]
=(4t-1-t^2)/2
=-(t-2)^2/2+3/2,
当t=2时,y有最大值3/2,故值域为(-∞, 3/2].
数形结合的方法:
y=(2sinθ-1)/(1+cosθ)=2*(sinθ-1/2)/(cosθ-(-1)),
只需要求出(sinθ-1/2)/(cosθ-(-1))的值域即可,而这个值是点P(cosθ, sinθ)、A(-1, 1/2)连线的斜率.
点P在单位圆上,如图所示.
从图可以看出,PA的最小倾角为-π/2,斜率为-∞;最大倾角为∠B1AB2-π/2,容易算出,tan(∠B1AB2-π/2)=cot(2*arctan(1/2))=3/4,此时y=2*3/4=3/2.
故y的值域为(-∞, 3/2].
先用万能代换解,稍后再用数形结合的方法解(因为需要画图,不是那么方便)
如果不对θ加以限制,那么,可设θ∈[0, 2π),
设t=tan (θ/2),则t∈R,
sinθ=2t/(1+t^2),cosθ=(1-t^2)/(1+t^2),
于是y=[4t/(1+t^2)-1]/[1+(1-t^2)/(1+t^2)]
=[4t-(1+t^2)]/[(1-t^2)+(1+t^2)]
=(4t-1-t^2)/2
=-(t-2)^2/2+3/2,
当t=2时,y有最大值3/2,故值域为(-∞, 3/2].
数形结合的方法:
y=(2sinθ-1)/(1+cosθ)=2*(sinθ-1/2)/(cosθ-(-1)),
只需要求出(sinθ-1/2)/(cosθ-(-1))的值域即可,而这个值是点P(cosθ, sinθ)、A(-1, 1/2)连线的斜率.
点P在单位圆上,如图所示.
从图可以看出,PA的最小倾角为-π/2,斜率为-∞;最大倾角为∠B1AB2-π/2,容易算出,tan(∠B1AB2-π/2)=cot(2*arctan(1/2))=3/4,此时y=2*3/4=3/2.
故y的值域为(-∞, 3/2].
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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