题目

设a是实数．若函数f（x）=|x+a|-|x-1|是定义在R上的奇函数，但不是偶函数，则函数f（x）的递增区间为______．

提问时间：2021-04-08

答案

由题意得f（-x）=-f（x），即：|-x+a|-|-x-1|=-|x+a|+|x-1|
∴a=1或-1．
a=-1，f（x）=0是偶函数不对，
a=1时，分情况讨论可得，f(x)＝

−2，x＜−1 2x，−1＜x＜1 2，x＞1

，所以函数f（x）的递增区间为〔-1，1〕
故答案为〔-1，1〕

先利用函数f（x）=|x+a|-|x-1|是定义在R上的奇函数，求得参数a=1或-1，利用不是偶函数，确定a=1，从而将函数用分段函数表示，进而可求函数f（x）的递增区间．

本题考点：奇偶性与单调性的综合．

考点点评：本题的考点是奇偶性与单调性的综合，主要考查利用奇偶函数的定义求参数，考查函数的单调性，关键是参数的确定，从而确定函数的解析式．