题目
如图:在△ABC中,∠A=α,△ABC的内角或外角平分线交于点P,且∠P=β,试探求图1,2,3中α与β的关系,并选择你认为最有把握又最喜欢的一个加以说明.
提问时间:2021-04-08
答案
(1)β=90°+
α;(2)β=
α;(3)β=90°-
α.
下面选择(1)进行证明.
在图(1)中,根据三角形内角和定理可得:∠ABC+∠ACB=180°-∠A.
∵BP与CP是△ABC的角平分线,
∴∠PBC=
∠ABC,∠PCB=
∠ACB,
∴∠PBC+∠PCB=
(∠ABC+∠ACB)=90°-
α.
在△PBC中,∠BPC=180°-(∠PCB+∠PCB)=180°-(90°-
α)=90°+
α.
∴β=90°+
α.图(2),结论:∠BPC=
∠A.
证明如下:
∠P=∠1-∠2=
(∠ACD-∠ABC)=
∠A.
∴β=
α;
(3)∵BP、CP分别是△ABC两个外角∠CBD和∠BCE的平分线,
∴∠CBP=
(∠A+∠ACB),∠BCP=
(∠A+∠ABC),
∴∠BPC=180°-∠CBP-∠BCP=180°-∠A-
(∠ABC+∠ACB),
∴∠P与∠A的关系是:∠P=180°-∠A-
(∠ABC+∠ACB)=90°-
α,
即β=90°-
α.
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下面选择(1)进行证明.
在图(1)中,根据三角形内角和定理可得:∠ABC+∠ACB=180°-∠A.
∵BP与CP是△ABC的角平分线,
∴∠PBC=
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∴∠PBC+∠PCB=
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在△PBC中,∠BPC=180°-(∠PCB+∠PCB)=180°-(90°-
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∴β=90°+
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证明如下:
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∴β=
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(3)∵BP、CP分别是△ABC两个外角∠CBD和∠BCE的平分线,
∴∠CBP=
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∴∠BPC=180°-∠CBP-∠BCP=180°-∠A-
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∴∠P与∠A的关系是:∠P=180°-∠A-
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即β=90°-
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举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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