题目

如图,已知A（0,2）,B（1,0）,点P是反比例函数y=8/x图像上一点,当点P在什么位置时,三角形PAB面积最小?并求出此时点P的坐标

提问时间：2021-04-07

答案

∵A、B是定点,∴要使S(△PAB)最小,就需要点P到AB的距离最小.
∵A、B分别在y轴、x轴的正半轴上,又y＝8/x在第一、三象限上,且以两坐标轴对称,
∴点P必须在第一象限上.
作直线AB的平行线与y＝8/x相切,切点就是点P,否则点P到AB的距离就不是最小的.
显然,AB的斜率＝（0－2）/（1－0）＝－2,
∴可设过点P且与AB平行的直线为y＝－2x＋m,其中m＞0.
联立：y＝－2x＋m、y＝8/x,消去y,得：－2x＋m＝8/x,∴－2x^2＋mx＝8,
∴2x^2－mx＋8＝0.
∵直线y＝－2x＋m与y＝8/x相切,∴方程2x^2－mx＋8＝0有重根.
令点P的坐标为（k,8/k）.
∵点P在第一象限上,∴k＞0.
∵k是方程2x^2－mx＋8＝0的重根,∴由韦达定理,有：k^2＝8/2＝4,∴k＝2,∴8/k＝4.
∴点P的坐标是（2,4）.