题目

一道抛物线的题目
已知抛物线y=ax^2+bx+c的顶点坐标为(2,4).
1、使用含a的代数式分别表示b、c；
2、若直线y=kx+4(k不=0）与y轴及该抛物线的交点依次为D、E、F,且S三角形ODE:S三角形OEF=1:3,其中O为坐标原点,使用含a的代数式表示k
3、在2的条件下,若线段EF的长m满足3根号2≤m≤3根号5,是确定a的取值范围

提问时间：2021-04-07

答案

解 (Ⅰ)由已知,可设抛物线的顶点式为y=a(x-2)²+4(a≠0),
即 y=ax²-4ax+4a+4,
∴ b=-4a,c=4a+4.…………………… 2分
(Ⅱ)设E(x1,y1)、F(x2,y2),
由方程组 y=kx+4,
{
y=ax²-4ax+4a+4.
消去y,得ax²-(4a+k)x+4a=0,(*)
∴ x1+x2=4a+k/a,①
x1*x2=4.②
又∵S△ODE/S△OEF=1/3,∴S△ODE/S△ODF=1/4.
∴DE/DF=1/4.∴▏x1/x2 ▏=1/4.即▏x2 ▏=4▏x1 ▏.
由②,知x1与x2同号,∴x2=4x1.③
由②、③,得x1=1,x2=4;x1=-1,x2=-4.
将上面数值代入①,得4a+k/a=±5,
解得 k=a或k=-9a.
经验证,方程(*)的判别式△〉0成立.
∴ k=a或k=-9a.……………………7分
(Ⅲ)由勾股定理,得m²=(x2-x1)²+(y2-y1)².
而(x2-x1)²=9,
由y1=kx1+4,y2=kx2+4,得（y2-y1)²=k²(x2-x1)²=9k².
∴m²=9(1+k²).即 m=3√1+k².
由已知3√2≤m≤3√5,
∴√2≤√1+k²≤√5.即 1≤k²≤4.
∴1≤k≤2或-2≤k≤-1.
当 k=a时,有1≤a≤2或-2≤a≤-1;
当 k=-9a时,有1≤-9a≤2或-2≤-9a≤-1,
即 -2/9≤a≤-1/9或1/9≤a≤2/9.