题目

已知：如图（1），直角坐标系中，直线y=x+3交x轴于A，交y轴于B，在x轴正半轴上取一点C，使△ABC的面积为6．

（1）求∠BAC的度数和点C的坐标；
（2）求△ABC的外心O′的坐标；
（3）如图（2），以O′为圆心O′A为半径作⊙O′，另有点P(-

13

-1，0)，直线PT切⊙O′于T．当点O′在平行于y轴的直线上运动（⊙O′的大小变化）时，PT的长度是否发生变化？若变化，求其变化范围；若不变化，求出PT的长度．

提问时间：2021-04-07

答案

（1）由y＝x+3y＝0，得A（-3，0），由y＝x+3x＝0，得B（0，3），∴OA=OB=3．∵∠AOB=90°，∴∠BAC=45°．∵△ABC的面积为6，∴12×AC×OB＝6，∴AC=4，∴OC=AC-OA=1，∵点C在x轴正半轴上，∴点C坐标为（1，0）．（2...

（1）根据已知，直角坐标系中，直线y=x+3交x轴于A，交y轴于B，求出A、B两点的坐标．首先确定△AOB是直角三角形，进而根据AO、BO的长求出∠BAC的度数；再根据三角形的面积公式，求出AC的长度，进而求出C点的坐标．
（2）根据等腰直角三角形斜边上的高、垂直平分线的特殊关系．求出AB垂直平分线的解析式，再求出AC垂直平分线的解析式．根据这两个解析式求出交点的坐标，即△ABC的外心O′的坐标．
（3）根据（2）确定出O′运行的轨迹，
连接PO′，TO′，AO′，设直线x=-1与x轴交点为E．
构造Rt△TPO′、Rt△AO′E、Rt△PO′E，根据勾股定理及圆O′的直径，得PT²=O′P²-O′A²，O′A²=O′E²+AE²，PE²=O′P²-O′E²．进而得出PT²=O′P²-O′E²-AE²=PE²-AE²．
根据点E在直线x=-1时，且在x轴上求出E点坐标
进而求出PE，AE．
最终求出PT的长度．

本题考点：直线与圆的位置关系；一次函数的应用；弦切角定理．

考点点评：此类题目是函数、圆、直角三角形知识的综合运用．难点在第（3）题，解决的根据是多次运用勾股定理，建立起线段间的关系．