题目

若定义在[0,1]上的函数f（x）同时满足：①f（x）≥0；②f（1）=1；③若x1≥0,x2≥0且x1+x2≤1,则f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．则称函数f（x）为“梦函数”．（1）试验证f（x）=2x-1在区间[0,1]上是否为“梦函数”；（2）若函数f（x）为“梦函数”,求f（x）的最值．解：（1）∵x∈[0,1],则2x-1∈[0,1],且f（1）=21-1=1,∴满足①f（x）≥0,②f（1）=1,∵x1≥0,x2≥0且x1+x2≤1,∴f（x1+x2）-[f（x1）+f（x2）]=2x1+x2-2x1-2x2+1=（2x1-1）（2x2-1）≥0,∴满足③若x1≥0,x2≥0且x1+x2≤1,则f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．故函数f（x）=2x-1在区间[0,1]上是“梦函数”；（2）根据题意中“梦函数”应该满足的条件,则有任意的x1,x2∈[0,1],且x1＜x2,f（x1）-f（x2）=f（x1）-f（x2-x1+x1）≤f（x1）-[f（x1）+f（x2）]=-f（x2）≤0,∴f（x1）≤f（x2）,∴f（x）在[0,1]上单调递增,令x1=x2=0,∵x1≥0,x2≥0且x1+x2≤1,则f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立,∴f（0）≥2f（0）,又f（x）≥0,∴f（0）=0,∴当x=0时,f（x）取最小值f（0）=0,当x=1时,f（x）取最大值f（1）=1．你们觉得解答的第8行有问题吗?如果总体来看的话f（x1）-f（x2）≤-f（x2） 那么f（x1）≤0

提问时间：2021-04-06

答案

(1)f(x)=2^x-1在区间[0,1]单调递增,当x=0时f(0)=2^0-1=1-1=0当x=1时f(1)=2^1-1=2-1=1所以满足条件1,条件2x1>=0,x2>=0且x1+x2<=1f(x1+x2)-[f(x1)-f(x2)]=2^(x1+x2)-1-[(2^x1-1)-(2^x2-1)]=2^x1*2^x2-2^x1-2^x2+1=(2^x1-1)(2^x2-1)>=0所以满足条件3.故函数f(x)=2^x-1在区间[0,1]上是“梦函数”(2)f(x)=2^x-1在区间[0,1]单调递增所以:最小值f(0)=2^0-1=1-1=0最大值f(1)=2^1-1=2-1=1