题目

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧面对角线AB₁、BC₁上分别有两点E、F，且B₁E=C₁F．求证：EF∥平面ABCD．

提问时间：2021-04-05

答案

证法一：分别过E、F作EM⊥AB于点M，FN⊥BC于点N，连接MN．
∵BB₁⊥平面ABCD，
∴BB₁⊥AB，BB₁⊥BC．
∴EM∥BB₁，FN∥BB₁．∴EM∥FN．
又B₁E=C₁F，∴EM=FN．
故四边形MNFE是平行四边形．
∴EF∥MN．又MN在平面ABCD中，
∴EF∥平面ABCD．
证法二：过E作EG∥AB交BB₁于点G，连接GF，则

B1E

B1A

=

B1G

B1B

．
∵B₁E=C₁F，B₁A=C₁B，∴

C1F

C1B

=

B1G

B1B

．
∴FG∥B₁C₁∥BC．
又∵EG∩FG=G，AB∩BC=B，
∴平面EFG∥平面ABCD．而EF在平面EFG中，
∴EF∥平面ABCD．

证法一：根据直线与平面平行的判定定理可知：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么直线和这个平面平行．故只需在平面ABCD中找到与EF平行的直线即可．
证法二：证明一条直线与一个平面平行，除了可以根据直线与平面平行的判定定理以外，通常还可以通过平面与平面平行进行转化，比如过E作EG∥AB交BB₁于点G，连接GF，根据三角形相似比可知：平面EFG∥平面ABCD．而EF在平面EFG中，故可以证得：EF∥平面ABCD．

本题考点：直线与平面平行的性质；平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质．

考点点评：本题主要考查了空间中的线面关系，三角形相似等基础知识，考查空间想象能力和思维能力．