题目

设y=e^x是微分方程xy′+p（x）y=x的一个解，求此微分方程满足条件y|_x=ln2=0的特解．

提问时间：2021-04-02

答案

把 y=e^x 代入原微分方程可得，P（x）=xe^-x-x，
代入可得，原微分方程为
xy′+（xe^-x-x）y=x，
化简可得，
y′+（e^-x-1）y=1．
因为一阶微分方程 y′+P（x）y=Q（x） 的通解公式为
y=e-∫p（x）dx（∫Q（x）e∫p（x）dxdx+C），
故原方程的通解为
y=e−∫(e−x−1)dx(∫e∫(e−x−1)dxdx+C)
=ee−x+x(∫e−e−x−xdx+C)
=ee−x+x(∫e−e−xd(−e−x)+C) 
=e^x+Cee−x+x．
由条件 y|_x=ln2=0 可得，C=−

1

2

e−

1

2

．
∴所求特解为 y=e^x+ex+e−x−

1

2

．

利用已知条件，首先求出p（x）的表达式，然后利用一阶线性微分方程的通解公式求出微分方程的通解，最后由初值条件求得特解．

本题考点：微分方程的显式解、隐式解、通解和特解；一阶线性微分方程的求解．

考点点评：本题考察了微分方程的解的概念以及一阶线性微分方程的求解公式．一阶线性微分方程的通解公式是常考知识点，需要熟练掌握．