题目

已知函数f（x）＝xe^x. 1.求f（x）的单调区间与极值；2.是否存在实数a,使得对于任意的x1,x2∈（a,正无限）,且x1小于x2,恒有（f（x2）－f（a））/(x2－a)大于（f（x1）－f（a））/(x1－a)成立?

提问时间：2021-04-02

答案

1、求导f(x)=e^x+xe^x=(1+x)e^x
令它为0,解得x=-1,又e^x在x属于R上>0恒成立
故f(x)在﹙－∞,－1]上单减,在﹙－1,＋∞﹚上单增
极小值=f(-1)=-e^(-1)
2、令g(x)=f(x)-f(a)/(x-a)
由题意可知,只要证明g(x)在（a,正无限）上单调递增即可
g(x)=xe^x-ae^a/x-a
对g(x)求导,g(x)'=ax-x^2e^x/(x-a)^2=x(a-xe^x)/(x-a)^2
分母大于0恒成立,分子上只要f(x)=xe^x>a且x>0时,g(x)'>0
所以存在实数a,使得对于任意的x1,x2∈（a,正无限）,且x1小于x2,恒有（f（x2）－f（a））/(x2－a)大于（f（x1）－f（a））/(x1－a)成立