题目

a2+b2+c2=12求证：a3+b3+c3大于等于24
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提问时间：2021-04-02

答案

∵a,b,c都是正实数,∴ a^2+b^2+c^2=12≥3(abc)^(2/3)
∴abc≤(12/3)^(3/2)=8,当切仅仅当a=b=c=2时等号成立.
故a+b+c≥3(abc)^(1/3)≥3(8)^(1/3)=6,当且仅仅当a=b=c=2时等号成立.
又由于a^2+b^2≥2ab,于是（a^2+b^2）(a+b)≥2ab(a+b)
即a^3+ab^2+ba^2+b^3≥2ba^2+2ab^2
∴a^3+b^3≥ab(a+b)………..(1)
同样可证得：
b^3+c^3≥bc(b+c)…………..(2)
c^3+a^3≥ac(a+c)…………...(3)
(1)+(2)+(3),得：
2（a^3+b^3+c^3）≥ab(a+b)+(bc(b+c)+ac(a+c)
=(a^2)b+ab^2+(b^2)c+bc^2+(a^2)c+ac^2
于是3(a^3+b^3+c^3)≥(a^3+a^2b+a^2c)+(b^3+ab^2+cb^2)+(c^3+ac^2+bc^2)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)
∴a^3+b^3+c^3≥(1/3)(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)=4(a+b+c)≥4*6=24.
即不等式a^3+b^3+c^3≥24成立