题目

已知如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，M是AC边的中点，AD⊥BM交BC于D，交BM于E，CF⊥AC，证明：

（1）△ABM≌△CAF；
（2）∠AMB=∠DMC．

提问时间：2021-04-02

答案

证明：（1）∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠F+∠CAF=90°，∠CAF+∠AMB=90°，
∴∠F=∠AMB，
在△ABM和△CAF中，

∠BAM＝∠ACF ∠AMB＝∠F AB＝CA

，
∴△ABM≌△CAF（AAS）；
（2）∵∠MCD=45°，
∴∠FCD=90°-∠MCD=45°，
∵M为AC的中点，
∴AM=CM，
∵△ABM≌△CAF，
∴AM=CF，
∴CM=CF，
在△CMD和△CFD中，

CM＝CF ∠MCD＝∠FCD CD＝CD

，
∴△CMD≌△CFD（SAS），
∴∠DMC=∠F，
则∠AMB=∠DMC．

（1）由三角形ABC为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到AB=AC，且∠ABC=∠ACB=45°，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AB=AC，利用AAS得到三角形ABM与三角形CAF全等；
（2）由全等三角形的对应边相等得到AM=CF，由M为AC中点，得到AM=CM，等量代换得到CM=CF，由公共边CD=CD，且夹角相等得到三角形CMD与三角形CFD全等，利用全等三角形对应角相等得到∠DMC=∠F，等量代换即可得证．

本题考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

考点点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．