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题目
如图,锐角三角形ABC中,∠A=60°,BE垂直AC,垂足为E,CF垂直AB,垂足为F,点D是BC中点,BE交CF于M
(1)说明B,C,E,F四点总在同一个圆上(2)如果AB=AC,求证:三角形DEF是等边三角形(3)如果AB不等于AC,猜想三角形DEF的形状,并证明(4)如果CM=4cm,FM=5cm,求三角形DEF周长

提问时间:2021-04-02

答案
(1)、因为:∠BEC=∠BFC=90°
所以:B,C,E,F四点共元.
(2)、当AB=AC时,∠FBC=∠ECB=60°
所以:∠EBC=∠FCB=30°且△ABC是等边三角形
所以:BF=(1/2)BC,EC=(1/2)BC,即BF=CE=(1/2)BC,即EF是三角形ABC的中位线
所以:EF=(1/2)BC
而:ED,FD分别是直角三角形BCE和直角三角形BCF的斜边中线
所以:DE=DF=(1/2)BC
所以:DE=DF=EF ,即△DEF是等边三角形
(3)当AB不等于AC时,只有ED=FD=(1/2)BC成立.
所以:△DEF是等腰三角形
(4)由于∠A=60°
所以:△BFM和△CEM都是有一个锐角是30°的直角三角形
所以:BM=10,BF=5√3,ME=2,EC=2√3,
所以:在RT△BCE中由勾股定理求得BC=2√39
在RT△ABE和RT△ACF中,由30°角所对的直角边等于斜边一半等定理求得:
AB=8√3,AC=6√3
所以:AF=3√3,AE=4√3
由B,C,E,F四点共元得:∠AEF=∠FBC,∠AFE=∠ECB
所以:△AEF相似△ABC,
由相似比例求得EF的值,(你自己作一下)
同时:ED=FD=(1/2)BC=√39
于是求出△EFD的周长.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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