题目
已知f(x)是R上的奇函数,且f(x)的图象关于x=1对称,当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1
(1)求证:f(x)是周期函数;
(2)当x∈[1,2]时,求f(x)的解析式;
(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013)的值.
(1)求证:f(x)是周期函数;
(2)当x∈[1,2]时,求f(x)的解析式;
(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013)的值.
提问时间:2021-04-02
答案
(1)∵f(x)的图象关于x=1对称,
∴f(1+x)=f(1-x),
∵f(x)是R上的奇函数,
∴f(1+x)=f(1-x)=-f(x-1),
即f(2+x)=-f(x),
∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
即f(x)是周期为4的周期函数;
(2)∵f(x)的图象关于x=1对称,
∴f(1+x)=f(1-x),即f(x)=f(2-x)
当x∈[1,2]时,2-x∈[0,1],
∵当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1
∴f(x)=f(2-x)=22-x-1,x∈[1,2].
(3)∵当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1
∴f(0)=0,f(1)=2-1=1,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-1,f(4)=f(0)=0,
∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0,
即f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013)=503×0+f(2012)+f(2013)=f(0)+f(1)=1.
∴f(1+x)=f(1-x),
∵f(x)是R上的奇函数,
∴f(1+x)=f(1-x)=-f(x-1),
即f(2+x)=-f(x),
∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
即f(x)是周期为4的周期函数;
(2)∵f(x)的图象关于x=1对称,
∴f(1+x)=f(1-x),即f(x)=f(2-x)
当x∈[1,2]时,2-x∈[0,1],
∵当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1
∴f(x)=f(2-x)=22-x-1,x∈[1,2].
(3)∵当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1
∴f(0)=0,f(1)=2-1=1,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-1,f(4)=f(0)=0,
∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0,
即f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013)=503×0+f(2012)+f(2013)=f(0)+f(1)=1.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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