题目

过直线l：y=2x上一点P作圆C：（x-8）²+（y-1）²=2的切线l₁、l₂，若l₁、l₂关于直线l对称，则点P到经过原点和圆心C的直线的距离为（　　）
A. 4
B.

65

13

C.

6 65

13

D.

48

13

提问时间：2021-04-02

答案

因为过直线l：y=2x上一点P作圆C：（x-8）²+（y-1）²=2的切线l₁、l₂，若l₁、l₂关于直线l对称，
所以过圆心与y=2x垂直的直线，与y=2x的交点，就是P的位置，
圆的圆心坐标为（8，1），与y=2x垂直的直线的斜率为−

1

2

，垂线方程为：y-1=−

1

2

(x−8)，
即x+2y-10=0，
所以

y＝2x x+2y−10＝0

，解得P（2，4），
圆心与原点的直线方程为：x-8y=0．
所以点P到经过原点和圆心C的直线的距离为：

|2−8×4|

12+(−8)2

=

6 65

13

．
故选C．

利用过圆心与y=2x垂直的直线，求出P的坐标，然后求出圆心与原点的直线方程，利用点到直线的距离求解即可．

本题考点：直线与圆的位置关系；直线的一般式方程；点到直线的距离公式．

考点点评：本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程以及直线的对称性的应用，点到直线的距离公式的应用，综合能力强的题目．