题目

已知定圆A:(X+√3)^2+y^2=16,圆心为A,动圆M过点B（√3,0）且和圆A相切,
动圆的圆心M的轨迹记为C
（1）求曲线的方程
（2）若点P（X.,y.）为曲线C上的一点,探究直线L：X.x + 4y.y-4=0与曲线C是否存在交点?若存在则求出交点坐标,若不存在请说明理由.

提问时间：2021-04-01

答案

答：
(1)
设圆B的圆心坐标为(a,b),半径为r>0,
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2,
圆B过（√3,0),
(√3-a)^2+b^2=r^2,
圆B与圆A相切（可以判断是内切）,两圆心的距离加上圆B的半径为圆A的半径,
√[(a+√3)^2+b^2]+r=4
两条式子,消去r,得到
a^2/4+b^2=1
所以曲线的方程为
x^2/4+y^2=1
(2)
P(x0,y0)是曲线上一点,(x0)^2/4+(y0)^2=1
x^2/4+y^2=1,
x0*x+4y0*y-4=0,
联立方程,得到
[(x0)^2+4(y0)^2]/[16(y0)^2]x^2-x0x/2(y0)^2+1/(y0)^2-1=0
(x0)^2/4+(y0)^2=1代入得到
1/4x^2-x0x/2+(x0)^2/4=0
[1/2x-1/2(x0)]^2=0
x=x0,这是方程的解.
所以直线和曲线存在一个交点P(x0,y0),
P点实际上是直线在椭圆上的切点,
直线是椭圆的切线.