题目

关于椭圆的题目
已知圆C：X＾2＋Y＾2－2X＋4Y－4＝0,是否存在斜率为1的直线L,使以L被圆C所截得的弦长AB为直径的圆经过原点?若存在,写出直线L的方程：若不存在,说明理由

提问时间：2021-04-01

答案

这题跟椭圆何关?
设直线 y=x+m
代入圆的方程.
∴ x²+(x+m)²-2x+4(x+m)-4=0
∴ 2x²+(2m+2)x+m²+4m-4=0
∴ x1x2=(m²+4m-4)/2,x1+x2=-(2m+2)/2=-(m+1)
假设存在
则 x1x2+y1y2=0
即 x1x2+(x1+m)(x2+m)=0
∴ 2x1x2+m(x1+x2)+m²-0
∴ m²+4m-4-m(m+1)+m²=0
∴ m²+3m-4=0
∴ m=1或m=4
利用判别式>0
即 (2m+2)²-8(m²+4m-4)>0
∴ (m+1)²-2(m²+4m-4)>0
∴ m²+6m-9