题目

求∫√（-x^2+2kx)dx,其中k为常数

提问时间：2021-04-01

答案

答：
∫ √(-x^2+2kx) dx
= ∫ √[k^2-(x-k)^2] dx
=k ∫ √[1-((x-k)/k)^2] dx
换元,令x=k+ksint,则sint=(x-k)/k,cost=√(2kx-x^2)/k,dx=kcostdt,t=arcsin[(x-k)/k] .
=k ∫ kcost√(1-(sint)^2) dt
=k^2 ∫ (cost)^2 dt
=k^2(t/2+sin2t/4) + C
=k^2/2*arcsin[(x-k)/k]+k^2/2*sintcost + C
=k^2/2*arcsin[(x-k)/k]+k^2/2*(x-k)/k*√(2kx-x^2)/k + C
=k^2/2*arcsin[(x-k)/k]+(x-k)/2*√(2kx-x^2) + C