题目

如图，直线l切⊙O于点A，点P为直线l上一点，直线PO交⊙O于点C、B，点D在线段AP上，连接DB，且AD=DB．

（1）求证：DB为⊙O的切线．
（2）若AD=1，PB=BO，求弦AC的长．

提问时间：2021-04-01

答案

（1）证明：连接OD；
∵PA为⊙O切线，
∴∠OAD=90°；
在△OAD和△OBD中，

OA＝OB DA＝DB DO＝DO

，

∴△OAD≌△OBD，
∴∠OBD=∠OAD=90°，
∴OB⊥BD
∴DB为⊙O的切线
（2）在Rt△OAP中；
∵PB=OB=OA，
∴OP=2OA，
∴∠OPA=30°，
∴∠POA=60°=2∠C，
∴PD=2BD=2DA=2，
∴∠OPA=∠C=30°，
∴AC=AP=3．

（1）要证明DB为⊙O的切线，只要证明∠OBD=90即可．
（2）根据已知及直角三角形的性质可以得到PD=2BD=2DA=2，再利用等角对等边可以得到AC=AP，这样求得AP的值就得出了AC的长．

本题考点：切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．

考点点评：本题考查了切线的判定及性质，全等三全角形的判定等知识点的掌握情况．