题目

给定k∈N*,设函数f:N*→N*满足:对于任意大于k的正整数
给定k属于N*,设函数f：N*→N*满足：对于任意大于k的正整数n,f（n）=n-k.
（1）设k=1,则其中一个函数f在n=1处的函数值为?
（2）设k=4,且当n≤4时,2≤f（n）≤3,则不同的函数f的个数为?
题中隐含了对于小于或等于K的正整数n,其函数值也应该是一个正整数 题中是怎么隐含的 我怎么看不出来
第2问用到的分步计数原理我还没有学到 还有别的方法么

提问时间：2021-04-01

答案

f:N* → N*表示f是由正整数集到正整数集的映射.
所以无论n与k的大小关系如何,f(n)都应该是一个正整数.
(1) 在k = 1时,条件f(n) = n-k只对n > 1有效,f(1)可以是任意正整数.
(2) n > 4时,函数值f(n) = n-4都被条件所确定.
可以变动的只有n = 1,2,3,4时的取值.
又2 ≤ f(n) ≤ 3,f(n)为正整数,因此f(n)只能为2或3.
f(1),f(2),f(3),f(4)各有两种取值,分步计数的话就是2×2×2×2 = 16种可能.
对这道题来说,分步计数真的是最简单的方法了.
分步计数原理都没学的话,就只有枚举了(还好不算太多):
f(1),f(2),f(3),f(4)的可能取值有:
2,2,2,2; 2,2,2,3;
2,2,3,2; 2,2,3,3;
2,3,2,2; 2,3,2,3;
2,3,3,2; 2,3,3,3;
3,2,2,2; 3,2,2,3;
3,2,3,2; 3,2,3,3;
3,3,2,2; 3,3,2,3;
3,3,3,2; 3,3,3,3.
共16种.
如果硬要做的话,也可以用一一对应来计数(二进制对应于0至15的整数),不过既抽象又麻烦.
其实分步计数原理很好理解的,建议尽快掌握.