题目

asinA+bsinB+csinC=0,acosA+bcosB+ccosC=0求证:a/sin(B-C)=b/sin(C-A)=c/sin(A-B)
abc不一定是正数

提问时间：2021-04-01

答案

由asinA+bsinB+csinC=0,acosA+bcosB+ccosC=0
得到：asinA+bsinB＝－csinC,acosA+bcosB＝－ccosC
将上面两个式子平方：
a^2(sinA)^2+2absinAsinB+b^2(sinB)^2=c^2(sinC)^2
a^2(cosA)^2+2abcosAcosB+b^2(cosB)^2=c^2(cosC)^2
将上面两个式子相加,结合(sinA)^2＋(cosA)^2＝1
得到：
a^2+2ab(sinAsinB+cosAcosB)+b^2=c^2
所以a^2＋b^2+2abcos(A-B)=c^2
同理可得到：
b^2＋c^2+2bccos(B-C)=a^2
a^2＋c^2+2accos(A-C)=b^2
由余弦定理逆定理（注意必须是有上述三个轮换式子!）
a、b、c组成一个三角形,其对角分别为(B-C)、(A-C)、(A-B)
因此由正弦定理,a/sin(B-C)=b/sin(C-A)=c/sin(A-B)
证毕
希望这个证明能给你帮助^_^