题目

已知

n

＝(2cosx，

3

sinx)，

m

＝(cosx，2cosx)，设f（x）=

n

•

m

+a．
（1）若x∈[0，

π

2

]且a=l时，求f（x）的最大值和最小值，以及取得最大值和最小值时x的值；
（2）若x∈[0，π]且a=-1时，方程f（x）=b有两个不相等的实数根x₁、x₂，求b的取值范围及x₁+x₂的值．

提问时间：2021-04-01

答案

f（x）=

n

•

m

+a＝2cos2x+2

3

sinxcosx+a
=cos2x+1+

3

sin2x+a＝2sin(2x+

π

6

)+a+1
（1）a=1，f(x)＝2sin(2x+

π

6

)+2
∵0≤x≤

π

2

∴

π

6

≤2x+

π

6

≤ 

7π

6

当2x+

π

6

＝

π

2

即x＝

π

6

，f(x)max＝4；x＝

π

2

，f(x)min＝1． 
（2）a＝−1，f(x)＝2sin(2x+

π

6

)
∵0≤x≤π，∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

13π

6

∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，∴-1≤f（x）≤2
当f（x）=b有两不等的根，结合函数的图象可得1＜b＜2或-2＜b＜1
b∈（-2，1）∪（1，2）；x1+x2＝

π

3

，

4π

3

利用向量的数量积的坐标表示及和差角公式化简已知函数可得f(x)＝2sin(2x+ 

π

6

)+a+1
（1）代入a=1，可得f(x)＝2sin(2x+

π

6

) +2，由x的范围可得2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，从而找出最值及取最值的条件
（2）代入a=-1，可得f(x)＝2sin(2x+

π

6

)，结合该函数在区间[o，π]的图象把方程f（x）=b的根转化为函数图象的交点问题

本题考点：三角函数的最值；正弦函数的图象．

考点点评：本题以向量的数量积为切入点，实际考查三角函数y=Asin（wx+∅）（A＞0，w＞0）的性质，也体现了数形结合思想在解题中运用