题目

若多项式x⁴-x³+ax²+bx+c能被（x-1）³整除，求a、b、c的值．

提问时间：2021-04-01

答案

∵多项式x⁴-x³+ax²+bx+c能被（x-1）³整除，
∴设x⁴-x³+ax²+bx+c=（x+m）（x-1）³，
∴x⁴-x³+ax²+bx+c=（x³-3x²+3x-1）（x+m）=x⁴+（m-3）x³+3（1-m）x²+（3m-1）x-m，
∴

m−3＝−1 ① 3(1−m)＝a ② 3m−1＝b  ③ −m＝c     ④

，
由①得：m=2，
将m=2代入②，有：3（1-2）=a，解得：a=-3，
将m=2代入③，有：3×2-1=b，解得：b=5，
将m=2代入④，有：2=-c，解得：c=-2，
∴a=-3、b=5、c=-2．

由多项式x⁴-x³+ax²+bx+c能被（x-1）³整除，可设x⁴-x³+ax²+bx+c=（x+m）（x-1）³，则可得x⁴-x³+ax²+bx+c=（x³-3x²+3x-1）（x+m）=x⁴+（m-3）x³+3（1-m）x²+（3m-1）x-m，根据多项式相等的知识可得：

m−3＝−1 ① 3(1−m)＝a ② 3m−1＝b  ③ −m＝c     ④

，继而求得答案．

本题考点：因式定理与综合除法．

考点点评：此题考查了因式定理与综合除法．此题难度适中，注意根据题意设x⁴-x³+ax²+bx+c=（x+m）（x-1）³，得到x⁴-x³+ax²+bx+c=（x³-3x²+3x-1）（x+m）=x⁴+（m-3）x³+3（1-m）x²+（3m-1）x-m是解此题的关键．