题目

如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，△ABE、△ACF是等边三角形．

（1）试说明：△ABD∽△CAD；
（2）连接DE、DF、EF，判断△DEF的形状，并说明理由．

提问时间：2021-04-01

答案

（1）证明：∵在RT△ABC中，AD为高
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∴△ABD～△CAD；                  
（2）△DEF为直角三角形．理由如下：
证明∵△ABE与△ACF为正三角形，
∴∠BAE=∠ACF=60°，
∵∠1=∠3，
∴∠BAE+∠1=∠ACF+∠3，
即∠EAD=∠DCF，
∵△ABD～△CAD，
∴

AB

CA

=

AD

CD

，
即 

AE

CF

=

AD

CD

，
∴△AED～△CFD，
∴∠4=∠5，
∵∠5+∠6=90°，
∴∠4+∠6=90°，
即∠EDF=90°，
∴△DEF为直角三角形．