题目

不等式|y|≤√3(x)表示平面区域内一动点P,它在区域边界所在直线上的射影分别为M,N,且满足向量PM*PN=3/8.求动点P的轨迹T

提问时间：2021-04-01

答案

所述平面区域为以直线y=(根号3)x
和y=-(根号3)x
为边界的包含x轴正半轴及原点的平面部分.
设P(x,y) （x>=0)为轨迹上任意一点,
则：PM.PN=|PM|*|PN|*cos(PM与PN的夹角）
由几何知识知：(PM与PN的夹角)=60度.
由点到直线距离公式知：
|PM|=|y-(根号3)x|/根号(1+3)
=|y-(根号3)x|/2
|PN|=|y+(根号3)x|/根号(1+3)
=|y+(根号3)x|/2
故PM.PN=|PM|*|PN|*cos(PM与PN的夹角）
=[|y-(根号3)x|/2][|y+(根号3)x|/2]*(1/2)
=|[y^2-3x^2]|/8.
注意到：|y|≤√3(x)
得：PM.PN=[-y^2+3x^2]|/8
令：PM*PN=3/8
即得：[-y^2+3x^2]/8=3/8
或：：3x^2-y^2=3 (x>=0)
即为所求.
知它是双曲线右支.