题目
x^2+2xy-y^2=7,求x^2+y^2最小值
提问时间:2021-04-01
答案
三个解法∶解法一:三角代换
设x=Rcost,y=Rsint,则x²+y²=R²
由已知x²+2xy-y²=7可得
R²【[cos²(2t)-sin²(2t)]+2sintcost】=7
R²【cos(2t)+sin(2t)】=7
R²·√2sin(2t+45°)=7
当sin(2t+45°)取最大值1时,x²+y²=R²有最小值(7/2)√2
注:asint+bcost=√(a²+b²) sin(t+γ) 【tanγ=b/a】
解法二:判别式法
设x²+y²=S,则x²+2xy-y²=7(x²+y²)/S
即 (S-7)x²+2Sxy-(S+7)y²=0
1)当y=0时,x²=7,x²+y²=S=7
2)当y≠0时,上式化为(S-7)(x/y)²+2S(x/y)-(S+7)=0 【两边同除以y²】
①S=7时,x²=7/5,y²=28/5
②S≠7时,△=4S²+4(S+7)(S-7)≥0
S²≥49/2,S≥(7/2)√2
所以x²+y²最小值(7/2)√2
解法三:利用待定系数法构造均值不等式
对2xy放缩:
2xy=2·(kx)·(y/k)≤k²x²+(y²/k²)
∴x²+k²x²+(y²/k²)-y²≥x²+2xy-y²=7
即 (k²+1)x²+[(1/k²)-1]y²≥7
构造 k²+1=(1/k²)-1,
即k²=√2-1时
有 √2x²+√2y²≥7
x²+y²≥(7/2)√2∴当(√2-1)x=y/(√2-1)时取等号
∴x²+y²最小值(7/2)√2
设x=Rcost,y=Rsint,则x²+y²=R²
由已知x²+2xy-y²=7可得
R²【[cos²(2t)-sin²(2t)]+2sintcost】=7
R²【cos(2t)+sin(2t)】=7
R²·√2sin(2t+45°)=7
当sin(2t+45°)取最大值1时,x²+y²=R²有最小值(7/2)√2
注:asint+bcost=√(a²+b²) sin(t+γ) 【tanγ=b/a】
解法二:判别式法
设x²+y²=S,则x²+2xy-y²=7(x²+y²)/S
即 (S-7)x²+2Sxy-(S+7)y²=0
1)当y=0时,x²=7,x²+y²=S=7
2)当y≠0时,上式化为(S-7)(x/y)²+2S(x/y)-(S+7)=0 【两边同除以y²】
①S=7时,x²=7/5,y²=28/5
②S≠7时,△=4S²+4(S+7)(S-7)≥0
S²≥49/2,S≥(7/2)√2
所以x²+y²最小值(7/2)√2
解法三:利用待定系数法构造均值不等式
对2xy放缩:
2xy=2·(kx)·(y/k)≤k²x²+(y²/k²)
∴x²+k²x²+(y²/k²)-y²≥x²+2xy-y²=7
即 (k²+1)x²+[(1/k²)-1]y²≥7
构造 k²+1=(1/k²)-1,
即k²=√2-1时
有 √2x²+√2y²≥7
x²+y²≥(7/2)√2∴当(√2-1)x=y/(√2-1)时取等号
∴x²+y²最小值(7/2)√2
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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