题目

已知函数f（x）对任意x、y∈R,都有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x＜0时,f（x)＜0,f(1)＜－2∕3.
求证：f(x)是R上的减函数

提问时间：2021-04-01

答案

因为f(x)+f(y)=f(x+y)
令X=0 则f(0)+f(y)=f(y)推得f(0)=0
再令Y=-X,则f(x)+f(-X)=f(0)移项得f(x）=-f(-x）
所以函数f（x）是奇函数
在R内任取X1,X2且X1〉X2
f(X1)-f(X2)=f(X1)+f(-X2)=f(X1-X2)
又因为f（x)＜0,所以f(X1)-f(X2)<0
f(X1)所以f(x)是R上的减函数