题目

数列{an}中,A1=2 An+1=An+cn(c是常数,n=1,2…）,且a1,a2,a3成公比不为1的等比数列
设数列{(an-c)/(n*c^n)}的前n项和为Tn,求Tn

提问时间：2021-04-01

答案

由题意得a2=a1+c
a3=a2+2c=a1+3c
因为a1,a2,a3成公比不为1的等比数列
所以a1*a3=a2^2
a1*(a1+3c)=(a1+c)^2
解得c=2
所以有a（n+1）=an+2n即an+1-an=2n
用累加法a2-a1=2
a3-a2=4
…………
an-an-1=2（n-1）
an-a1=n（n-1）
所以an=n（n-1）+2
所以{(an-c)/(n*c^n)}=（n-1)/2^n
接着用错位相减法
Tn=0+1×1/4+2×1/8+…………+（n-1)/2^n
1/2Tn=0+1×1/8+…………+（n-1)/2^n+1
Tn-1/2Tn=1/4+1/8+1/16+…………+1/2^n-(n-1)/2^n+1
=1-1/2^n-(n-1)/2^n+1=1/2Tn
Tn=2-1/2^n-1-(n-1)/2^n
=2-（n+1)/2^n