题目

已知点（a，b）在圆x²+y²=1上，则函数f(x)=acos2x+bsinxcosx-

a

2

-1的最小正周期和最小值分别为（　　）
A. 2π，-

3

2

B. π，-

3

2

C. π，-

5

2

D. 2π，-

5

2

提问时间：2021-04-01

答案

∵点（a，b）在圆x²+y²=1上，∴a²+b²=1．
f(x)=acos2x+bsinxcosx-

a

2

-1
=a•

1+cos2x

2

+

b

2

sin2x-

a

2

-1
=

1

2

(bsin2x+acos2x)-1
=

b2+a2

2

(

b

b2+a2

sin2x+

a

b2+a2

cos2x)-1
=

1

2

sin(2x+θ)-1，（tanθ=

a

b

）．
∴函数的最小正周期为

2π

2

=π，
当sin（2x+θ）=-1时，函数有最小值-

3

2

．
故选：B．

由点（a，b）在圆x²+y²=1上，得到a²+b²=1，然后利用倍角公式降幂后由两角和的正弦化积，化为y=Asin（ωx+φ）+k的形式后可求周期和最值．

本题考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．

考点点评：本题考查了二倍角的正弦公式和余弦公式，考查了两角和的正弦公式，考查了形如y=Asin（ωx+φ）+k的函数的周期和最值得求法，此类问题解决的方法是先降幂，后化积，是中档题．