题目

已知正数a，b，c满足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，则

b

a

提问时间：2021-04-01

答案

∵4c-a≥b＞0
∴

c

a

＞

1

4

，
∵5c-3a≤4c-a，
∴

c

a

≤2．
从而

b

a

≤2×4-1=7，特别当

b

a

=7时，第二个不等式成立．等号成立当且仅当a：b：c=1：7：2．
又clnb≥a+clnc，
∴0＜a≤cln

b

c

，
从而

b

a

≥

b c

ln b c

，设函数f（x）=

x

lnx

（x＞1），
∵f′（x）=

lnx−1

(lnx)2

，当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，当x=e时，f′（x）=0，
∴当x=e时，f（x）取到极小值，也是最小值．
∴f（x）_min=f（e）=

e

lne

=e．
等号当且仅当

b

c

=e，

b

a

=e成立．代入第一个不等式知：2≤

b

a

=e≤3，不等式成立，从而e可以取得．等号成立当且仅当a：b：c=1：e：1．
从而

b

a

的取值范围是[e，7]双闭区间．