题目

若f(X)=a^x,请证明f(x1+x2/2)小于等于[f(x1）+f(x2)]/2

提问时间：2021-04-01

答案

f(x1+x2/2)=a^(x1+x2/2)
[f(x1）+f(x2)]/2=(a^x1+a^x2)//2
所以 [f(x1）+f(x2)]/2除以f(x1+x2/2)=[(a^x1+a^x2)//2]/a^(x1+x2/2)
=1/2[a^(x1-x2)+a^(x2-x1)]
利用平均值不等式（a>0,b>0 且 ab 的值为定值时,a+b≥2√ab）(此题相当于a=a^(x1-x2),b=a^(x2-x1）ab=a^(x1-x2)*a^(x2-x1）=1）
可知 a^(x1-x2)+a^(x2-x1）>=2√a^(x1-x2)*a^(x2-x1)=2*1=2
所以 [f(x1）+f(x2)]/2除以f(x1+x2/2)>=1/2*2=1
即 [f(x1）+f(x2)]/2>=f(x1+x2/2)
原题得证.
不知道说清楚没有,可在提,非常愿意为你解答.