题目

在边长为6cm的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥．

（1）判别MN与平面AEF的位置关系，并给出证明；
（2）求多面体E-AFMN的体积．

提问时间：2021-04-01

答案

证明：（1）因翻折后B、C、D重合（如图），
所以MN应是△ABF的一条中位线，
则

MN∥AF MN⊄平面AEF AF⊂平面AEF

⇒MN∥平面AEF．
（2）因为

AB⊥BE AB⊥BF

⇒AB⊥面BEF
且AB=6，BE=BF=3，
∴V_A-BEF=9，
又

VE−AFMN

VE−ABF

＝

SAFMN

S△ABF

＝

3

4

，
∴VE−AFMN＝

27

4

．

（1）由题意及图形的翻折规律可知MN应是△ABF的一条中位线，利用线面平行的判定定理即可求证；
（2）利用条件及线面垂直的判定定理可知

AB⊥BE AB⊥BF

⇒AB平面BEF，在利用锥体的体积公式即可．

本题考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．

考点点评：此题考查了图象的翻折规律，线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理及锥体的体积公式．