题目

1：不可约元均为素元能否推出任意实数a,b且a,b互素.必有实数u,v满足au+bv=1
2：Z是整数环,p是给定素数,求Z(根号下负5）所有不可约元.

提问时间：2021-04-01

答案

讨论前提是一个整环.
1 不可约元均为素元也就意味着是一个唯一分解整环（当然要满足因子链条件）.而后者意味着要求这个整环是主理想整环.一个唯一分解整环不一定是主理想整环,而主理想整环一定是唯一分解的.因此这个题答案是否定的.比如Z[x],整系数多项式环,是唯一分解的（显然）,但不是主理想整环.1+x与x^2是互素的（没有公因式）,但怎么加都不会出来1的.
2 Z(根号-5)不是唯一分解整环.先证其中的单位只有正负1.记D=根号-5,则有a+bD为单位必有其范数为1.于是a^2+5b^2=1,有a=正负1,b=0.所以所有不可约元就是只有他本身与1两个约数（负的不算）.
不妨设x是可约的,则有x=(a+bD)(c+dD)
两边取范数知N(x)=(a^+5b^2)(c^2+5d^2)
如果令x是不可约的,必有a^2+5d^2=1,c^2+5d^2=N(x)(负的先不考虑）是唯一的可能情形.考虑所以c^2+5d^2可能的值,列出就是1 4 5 6 9 14...
所有范数不能表示为这个列中两数之积的就是不可约元.比如2,3 1+D,1-D,2+D等,恐怕没法写出通式来.举例算一个吧
2+D
设2+D=(a+bD)(c+dD)
左右取范数有
9=(a^2+5b^2)(c^2+5d^2)
反设可约,则必有a^2+5b^2=c^2+5d^2=3,这是不可能的.