题目

正方形ABCD的边长为4,点MN分别在线段AB,AD上,若2MN平方+CM平方+CN平方=54,则AM+A
N的范围是

提问时间：2021-04-01

答案

设AM=x,AN=y,
正方形ABCD的边长为4,点M,N分别在线段AB,AD上,
∴BM=4-x,DN=4-y,
由勾股定理,MN^2=x^2+y^2,CM^2=(4-x)^2+16,CN^2=16+(4-y)^2,
代入已知式得2(x^2+y^2)+(4-x)^2+(4-y)^2+32=54,
3(x^2+y^2)-8(x+y)+10=0,①
设u=x+y,v=xy,则0<=v<=u^2/4,①变为3(u^2-2v)-8u+10=0,
3u^2-8u+10=6v<=(3/2)u^2,
∴(3/2)u^2-8u+10<=0,
解得2<=u<=10/3,
即AM+AN的取值范围是[2,10/3].